Question

設函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）當b＞

1

2

時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的定義域，求導數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)按①當b≥1時，②當b＜1時，③當0＜b＜1時三種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，根據(jù)極值點的定義即可求得；

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）的定義域為（-1，+∞）…2
f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

…4
令g（x）=2x²+2x+b，則g（x）在(-

1

2

，+∞)上遞增，在(-1，-

1

2

)上遞減，
∴g(x)min=g(-

1

2

)=-

1

2

+b．
當b＞

1

2

時，g(x)min=-

1

2

+b＞0，g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0，
即當b＞

1

2

時，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增…6
（II）分以下幾種情形討論：
（1）由（I）知當b＞

1

2

時，函數(shù)f（x）無極值點．
（2）當b=

1

2

時，f′(x)=

2(x+ 1 2 )2

x+1

，
∴x∈(-1，-

1

2

)時，f′（x）＞0，x∈(-

1

2

，+∞)時，f′（x）＞0，
∴b=

1

2

時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點…8
（3）當b＜

1

2

時，解f′（x）=0得兩個不同解x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

．
當b＜0時，x1=

-1- 1-2b

2

＜-1，x2=

-1+ 1-2b

2

＞-1，
∴x₁∉（-1，+∞），x₂∈（-1，+∞），
此時f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x2=

-1+ 1-2b

2

…10
當0＜b＜

1

2

時，x₁，x₂∈（-1，+∞），f′（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，f′（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此時f（x）有一個極大值點x1=

-1- 1-2b

2

和一個極小值點x2=

-1+ 1-2b

2

綜上可知，b＜0時，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x2=

-1+ 1-2b

2

；0＜b＜

1

2

時，f（x）有一個極大值點x1=

-1- 1-2b

2

和一個極小值點x2=

-1+ 1-2b

2

b≥

1

2

時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點．…13

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在某點取得極值的條件，注意f′（x₀）=0是x₀為可導數(shù)函數(shù)的極值點的必要不充分條件．