Question

已知曲線C₁的參數(shù)方程是

x=t y=t+a

（t為參數(shù)，a為實數(shù)常數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程是

x=-t y=-t+b

（t為參數(shù)，b為實數(shù)常數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₃的極坐標方程是ρ=1．若C₁與C₂分曲線C₃所成長度相等的四段弧，則a²+b²=

 

．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：由題意將參數(shù)方程、極坐標方程化為普通方程，再由題意判斷出直線與圓相交截得的弦長所對的圓心角是90°，
利用點到直線的距離公式求出a、b，代入a²+b²求值．

解答： 解：由題意得，C₁的普通方程：y=x+a，C₂的普通方程：y=x+b，
因為曲線C₃的極坐標方程是ρ=1，化為直角坐標方程為x²+y²=1，
因為C₁與C₂分曲線C₃所成長度相等的四段弧，
所以直線y=x+a、y=x+b與圓x²+y²=1相交截得的弦長所對的圓心角是90°，
則圓心到直線的距離d=

2

2

，即

2

2

=

|a|

2

，解得a=±1，
即不妨令a=1、b=-1，所以a²+b²=2，
故答案為：2．

點評：本題考查參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程，以及直線與圓相交的問題，屬于中檔題．