Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且離心率e=

1

2

，點P為橢圓上的一個動點，△PF₁F₂的內(nèi)切圓面積的最大值為

4π

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A，B，C，D是橢圓上不重合的四個點，滿足向量

F1A

與

F1C

共線，

F1B

與

F1D

共線，且

AC

•

BD

=0，求|

AC

|+|

BD

|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)，△PF₁F₂的內(nèi)切圓面積的最大值為

4π

3

．求得r=

2 3

3

，再根據(jù)△PF₁F₂的周長為定值，以及離心率，求得a，b的值，問題得以解決．
（2）分兩類討論，斜率不存在，斜率存在，當斜率存在時根據(jù)弦長公式得到|

AC

|+|

BD

|=

168

12+ 1 k2+1 - 1 (k2+1)2

，再利用換元法，求得取值范圍

解答： 解：（1）由幾何性質(zhì)可知，當，△PF₁F₂的內(nèi)切圓面積的最大值時，
即，S_△PF1F2取最大值，且（S_△PF1F2）_max=

1

2

•2c•b=bc，
由πr2=

4

3

π，解得r=

2 3

3

，
又由△PF₁F₂的周長為2a+2c定值，
∴

bc

2a+2c

=

2 3

3

，
又e=

c

a

=

1

2

，
可得a=2c，即b=2

3

，
∴c=2，b=2

3

，a=4，
故橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
（2）①當直線AC和BD中有一條垂直x軸時，|

AC

|+|

BD

|=6+8=14，
②當直線AC的斜率存在但不為0時，設(shè)AC的方程為：y=k（x+2），
由

y=k(x+2) x2 16 + y2 12 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0，代入弦長公式得，|

AC

|=

24(k2+1)

3+4k2

，
同理由

y=- 1 k (x+2) x2 16 + y2 12 =1

，消去y，代入弦長公式得|

BD

|=

24(k2+1)

3k2+4

，
∴|

AC

|+|

BD

|=

168(k2+1)2

(3+4k2)(4+3k2)

=

168

12+ 1 k2+1 - 1 (k2+1)2

，
令

1

k2+1

=t∈（0，1），
則-t²+t+12∈[

96

7

，14），
由①②可知|

AC

|+|

BD

|的取值范圍是[

96

7

，14]．

點評：本題考查了橢圓方程的求法、直線與橢圓相交問題、弦長公式即可得出，考查了學生的計算能力，屬于中檔題．