Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．（x＞0）
（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（2）若當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞ 恒成立，求正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=

∴f′（x）= [ ﹣1﹣ln（x+1）]=﹣ [ +ln（x+1）]．

由x＞0，x2＞0， ＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0．

因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)

（2）解：解法一：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞ 恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．

又k為正整數(shù)．則k的最大值不大于3．

下面證明當(dāng)k=3時(shí)，f（x）＞ （x＞0）恒成立．

即證明x＞0時(shí)（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．

令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1﹣2x，

則g′（x）=ln（x+1）﹣1．

當(dāng)x＞e﹣1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜e﹣1時(shí)，g′（x）＜0．

∴當(dāng)x=e﹣1時(shí)，g（x）取得最小值g（e﹣1）=3﹣e＞0．

∴當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．

因此正整數(shù)k的最大值為3．

解法二：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞ 恒成立．

即h（x）= ＞k對(duì)x＞0恒成立．

即h（x）（x＞0）的最小值大于k．

由h′（x）= ，記Φ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）．（x＞0）

則Φ′（x）= ＞0，

∴Φ（x）在（0，+∞）上連續(xù)遞增．

又Φ（2）=1﹣ln3＜0，Φ（3）=2﹣2ln2＞0，

∴Φ（x）=0存在惟一實(shí)根a，且滿足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1），

由x＞a時(shí)，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a時(shí)，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知：

h（x）（x＞0）的最小值為h（a）= =a+1∈（3，4）．

因此正整數(shù)k的最大值為3

【解析】（1）直接求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，化簡導(dǎo)函數(shù)分子，判斷正負(fù)即可；（2）可以先利用特殊值x=1先嘗試k的可能值，然后用導(dǎo)數(shù)的方法予以證明；或者構(gòu)造新函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的最值即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．