Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)?a，b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小關(guān)系；
（2）若f（1+m）+f（3-2m）≥0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：分析法,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，結(jié)合條件

f(a)+f(b)

a+b

＞0判斷出增函數(shù)，比較f（a）與f（b）的大小關(guān)系很容易了．
（2）利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式f（1+m）+f（3-2m）≥0，為m+1≥2m-3，再求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
又∵對(duì)?a，b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
∴對(duì)?a，b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，即

f(a)-f(b)

a-b

＞0
可判斷f（x）為增函數(shù)，可知當(dāng)a＞b時(shí)有f（a）＞f（b）成立．
（2）∵f（x）為增函數(shù)，且奇函數(shù)∴f（1+m）+f（3-2m）≥0可轉(zhuǎn)化為m+1≥2m-3，即m≤4
可知實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和不等式的關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化的方法解決．