Question

17．一個(gè)多面體如圖所示，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AB=FB，F(xiàn)B⊥平面ABCD，ED∥FB，且ED=1．
（1）求證：平面ACE⊥平面ACF．
（2）求多面體AED-BCF的體積．

Answer 1

分析 （1）證明OE⊥平面ACF，即可證明平面ACE⊥平面ACF．
（2）多面體ADE-BCF的體積V=${V_{E-ACD}}+{V_{F-ABC}}+V_{E-ACF}^{\;}$，分別求出體積，即可求多面體AED-BCF的體積．

解答 （1）證明：連接BD，AC與BD交于點(diǎn)O，連接OE，OF．
∵四邊形ABCD是四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)B⊥平面ABCD，ED∥FB
∴DE⊥平面ABCD，AE=CE，OE⊥AC  ①
又∵DE=1，CD=2，
則OE=$\sqrt{3}$，OF=$\sqrt{6}$，EF=3
∴OE²+OF²=EF²，則OE⊥OF ②
由①，②得，OE⊥平面ACF，
∴平面ACF⊥ACE；
（2）解：由（1）可知，三棱錐E-ACD，三棱錐F-ABC的高分別是DE，BF．且AC⊥平面BDEF，
故多面體ADE-BCF的體積V=${V_{E-ACD}}+{V_{F-ABC}}+V_{E-ACF}^{\;}$
而${V_{E-ACD}}=\frac{2}{3}$，${V_{F-ABC}}=\frac{4}{3}$，$V_{E-ACF}^{\;}$=2
∴多面體ADE-BCF的體積V=4．

點(diǎn)評 本題考查了面面垂直的判定，考查了用分割法求多面體的體積，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．