Question

【題目】已知過點(diǎn)的直線與圓相交于A，B兩點(diǎn).

（1）若，求直線AB的方程；

（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）或；

（2）

【解析】

由圓的方程可得圓心坐標(biāo)和半徑；

（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)可知不滿足題意，由此可設(shè)方程為，利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到直線方程；

（2）由圓的性質(zhì)可知，利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算可表示出所滿足的方程，通過在圓內(nèi)可確定的取值范圍，進(jìn)而得到結(jié)果.

將圓方程整理為：，則圓心，半徑，

（1）若過點(diǎn)的直線斜率不存在，則方程為，此時(shí)直線與圓無交點(diǎn)，不合題意，

過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，

則圓心到直線距離，，解得：，

直線的方程為：或.

（2）由圓的性質(zhì)可知：，即.

設(shè)，則，，

，整理可得：，

由得：，

為圓的弦的中點(diǎn)，在圓內(nèi)，即，

點(diǎn)的軌跡方程為.