已知函數(shù)f(x)=ex-
1
ex
,g(x)=ex+
1
ex
,動直線x=t分別與函數(shù)y=f(x)、y=g(x)的圖象分別交于點A(t,f(t))、B(t,g(t)),在點A處作函數(shù)y=f(x)的圖象的切線,記為直線l1,在點B處作函數(shù)y=g(x)的圖象的切線,記為直線l2
(Ⅰ)證明:不論t取何實數(shù)值,直線l1與l2恒相交;
(Ⅱ)若直線l1與l2相交于點P,試求點P到直線AB的距離;
(Ⅲ)當t<0時,試討論△PAB何時為銳角三角形?直角三角形?鈍角三角形?
分析:(Ⅰ)求出兩個函數(shù)的導數(shù),即得切線的斜率,令這兩條切線的斜率相等,此方程無解,故這兩條切線的斜率一定不相等,得到直線l1與l2恒相交.
(Ⅱ)用點斜式求得直線l1和直線l2的方程,求得交點P的橫坐標滿足x-t=1,又直線AB方程為x=t,直線AB垂直x軸,
故點P到直線AB的距離為 1.
(Ⅲ)利用兩個向量的數(shù)量積的定義、數(shù)量積公式可得∠B恒為銳角,且∠A恒為銳角,令
PA
PB
 分別小于0、等于
0、小于0,求出對應的t值,即得所求.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=ex+
1
ex
=g(x)
g′(x)=ex-
1
ex
=f(x)
,
∴直線l1的斜率k1=f′(t)=et+
1
et
,直線l2的斜率k2=g(t)=et-
1
et

令k1=k2,得
2
et
=0
,此方程沒有實數(shù)解,∴不論t取何實數(shù)值,直線l1與l2恒相交.
(Ⅱ)直線l1的方程為:y=f(t)+g(t)(x-t),…①
直線l2的方程為:y=g(t)+f(t)(x-t),…②
由①、②得:(g(t)-f(t))(x-t-1)=0.
g(t)-f(t)=
2
et
>0
,∴x-t=1,又∵直線AB方程為x=t,直線AB垂直x軸,∴點P到直線AB的距離為1.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可求得P(t+1,2et),
①∵
BP
=(1,et-
1
et
)
,
BA
=(0,-
2
et
)
,
BP
BA
=-
2
et
(et-
1
et
)=-
2
et
e2t-1
et
,
∵t<0,e2t<1,∴
BP
BA
=-
2
et
(et-
1
et
)=-
2
et
e2t-1
et
>0
,
又∵
BP
BA
=|
BP
||
BA
|cos∠B
,
∴cos∠B>0,∠B恒為銳角.
②∵
AP
=(1,et+
1
et
)
,
AB
=(0,
2
et
)
,
AP
AB
=
2
et
(et+
1
et
)>0
,
∴不論t取何值,∠A恒為銳角.
③∵
PA
=(-1,-et-
1
et
)
PB
=(-1,-et+
1
et
)
,∴
PA
PB
=1+e2t-
1
e2t

PA
PB
=1+e2t-
1
e2t
>0
,得(e2t2+e2t-1>0,(e2t-
-1-
5
2
)(e2t-
-1+
5
2
)>0
,
e2t-
-1+
5
2
>0
,
1
2
ln
-1+
5
2
<t<0

又∵
PA
PB
=|
PA
||
PB
|cos∠P
,∴cos∠P>0,∠P為銳角.
PA
PB
=1+e2t-
1
e2t
=0
,得e2t-
-1+
5
2
=0
,t=
1
2
ln
-1+
5
2
<0
,
此時,cos∠P=0,∠P為直角;
PA
PB
=1+e2t-
1
e2t
<0
,得(e2t2+e2t-1<0,(e2t-
-1-
5
2
)(e2t-
-1+
5
2
)<0
,
 e2t-
-1+
5
2
<0
t<
1
2
ln
-1+
5
2
,此時,cos∠P<0,∠P為鈍角.
綜合①②③得:當t<
1
2
ln
-1+
5
2
時,△PAB為鈍角三角形;
t=
1
2
ln
-1+
5
2
時,△PAB為直角三角形;
1
2
ln
-1+
5
2
<t<0
時,△PAB為銳角三角形.
點評:本題考查導數(shù)的幾何意義,點到直線的距離公式,兩個向量的數(shù)量積的定義,數(shù)量積公式,三角形形狀的判定,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想.
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已知函數(shù)f(x)=
e-x-2,(x≤0)
2ax-1,(x>0)
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①函數(shù)f(x)的最小值是-1;
②函數(shù)f(x)在R上是單調函數(shù);
③若f(x)>0在[
1
2
,+∞)
上恒成立,則a的取值范圍是a>1;
④對任意x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2

其中正確命題的序號是
 

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1
x
,若實數(shù)x0是方程f(x)=0的解,且x1>x0,則f(x1)的值( 。

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1k
)(k<0)

(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得函數(shù)f(x)的極大值等于3e-2?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

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1k
)(k<0)

(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得函數(shù)f(x)的極大值等于3e-2?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.

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f(x)=
e-x-1,(x≤0)
|lnx|,(x>0)
,集合M={x|f[f(x)]=1},則M中元素的個數(shù)為( 。

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