Question

（12分）二次函數(shù)f(x)=ax²+x+1(a＞0)的圖象與x軸的兩個(gè)不同的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂。
（1）證明：(1+x₁)(1+x₂)=1；
（2）證明：x₁＜－1，x₂＜－1；
（3）若函數(shù)y=xf(x)在區(qū)間（－，－4）上單調(diào)遞增，試求a的取值范圍。

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

（1）由題意知x₁，x₂是一元二次方和ax²+x+1=0的兩個(gè)實(shí)根，所以x₁+x₂=－，x₁x₂=
x₁+x₂=－x₁x₂，所以（1+x₁）（1+x₂）=1
（2）由方程ax²+x+1=0(a＞0)的判別式=1－4a＞0，解得0＜a＜.
所以y=ax²+x+1=0(a＞0)的圖象的對(duì)稱軸
x=－，且f(－1)=a＞0
所以二次函數(shù)y=ax²+x+1(a＞0)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)都在－1點(diǎn)的左側(cè)，
即x₁＜－1，x₂＜－1
（3）設(shè)g(x)=xf(x)=ax³+x²+x(0＜a＜)，
∴g’(x)=3ax²+2x+1＞0對(duì)x(－，－4)恒成立，
∴3a＞=－()²+1
又當(dāng)x（－，－4）時(shí)，－()²+1＜ 
∴a≥，∴