Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，，點是棱的中點，，點是棱上一點，且.

（1）證明：平面；

（2）若，，點在棱上，且，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明平面，可得出，再證明可得出，利用線面垂直的判定定理可得出結(jié)論；

（2）過點作的平行線交于點，然后以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算出的坐標(biāo)，并計算出平面的法向量，利用空間向量法能計算出直線與平面所成角的正弦值.

（1）因為平面，且平面，所以，

又，，所以平面，

平面，故，

因為，，，

因為平面，平面，所以，

所以，所以，又，平面；

（2）因為，，則，，

過點作的平行線交于點，因為平面，所以平面，

又因為，故可以、、分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則部分點坐標(biāo)為：，，，，

則，，，

因為點在棱上，且，則，

則，即有，即，

由（1）知平面，則為平面的一個法向量，

設(shè)直線與平面所成角為，則，

即直線與平面所成角的正弦值為.