【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，若有兩個相異零點，，且，求證：.

【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)，分，兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，即得解；

（2）由，構(gòu)造，結(jié)論，可轉(zhuǎn)化為

，構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性研究單調(diào)性，即可證.

（1），，

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

當(dāng)時，令，解得，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間

上是增函數(shù).

綜上得：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）由題意得，.

因為，是方程的兩個不同的實數(shù)根，所以

，兩式相減得，解得.

要證：，即證：，即證：，

即證：，

令（因為），則只需證.

設(shè)，∴；

令，∴，在上為減函數(shù)，

∴，∴，在為增函數(shù)，.

即在上恒成立，∴.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】心理學(xué)研究表明，人極易受情緒的影響，某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.

（1）在不受情緒的影響下，該選手每局獲勝的概率為；但實際上，如果前一句獲勝的話，此選手該局獲勝的概率可提升到；而如果前一局失利的話，此選手該局獲勝的概率則降為，求該選手在前3局獲勝局?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）假設(shè)選手的三局比賽結(jié)果互不影響，且三局比賽獲勝的概率為，記為銳角的內(nèi)角，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線的斜率為，縱截距為.

（1）求點（2，4）關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)；

（2）求與直線平行且距離為的直線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)），在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為.

（1）求C的普通方程和l的傾斜角；

（2）設(shè)點，l和C交于A，B兩點，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃，需了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型:①，②，其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．

現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側(cè)的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．令，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：

（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；

（2）（i）根據(jù)（1的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（ii）若下一年銷售額需達(dá)到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？

附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；

② 參考數(shù)據(jù)：，，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，是等邊三角形，，，，，是的中點．

（1）求證：直線平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，，點是棱的中點，，點是棱上一點，且.

（1）證明：平面；

（2）若，，點在棱上，且，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的方程為.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.交于，兩點（在軸上方），交極軸于點（異于極點）.

（1）求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)；

（2）若為的中點，為上的點，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，F是BC的中點

（1）求證：EF∥平面A1DC1；

（2）若長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，夾在平面A1DC1與平面B1EF之間的幾何體的體積為，求點D到平面B1EF的距離.

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