Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+k}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+k）}{（{x}^{2}+k）^{2}}$，判斷x²-2x+k的符號(hào)，從而得出f（x）的單調(diào)區(qū)間，可設(shè)y=x²-2x+k：△≤0時(shí)，容易得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R；而△=4-4k＞0時(shí)，可求出方程x²-2x+k有兩個(gè)不同實(shí)根，$x=1±\sqrt{1-k}$，從而知道在兩根之外f′（x）＞0，在兩根之間f′（x）＜0，為判斷f（x）的間斷點(diǎn)，從而需討論k＞0，k=0，和k＜0三種情況，然后寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+k）-{e}^{x}（2x）}{（{x}^{2}+k）^{2}}=\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+k）}{（{x}^{2}+k）^{2}}$；
∴需判斷函數(shù)y=x²-2x+k的符號(hào)：
①若△=4-4k≤0，即k≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立；
∴f（x）在R上單調(diào)遞增，即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R；
②若△＞0，即k＜1時(shí)，解${x}^{2}-2x+k=0得，x=1±\sqrt{1-k}$；
1）k=0時(shí)，方程解為x=2，或0；
∴x＜0時(shí)，f′（x）＞0，0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，x＞2時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）；
2）k＞0時(shí)，$x＜1-\sqrt{1-k}$時(shí)，f′（x）＞0，1$-\sqrt{1-k}＜x＜1+\sqrt{1-k}$時(shí)，f′（x）＜0，x$＞1+\sqrt{1-k}$時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（-∞，1-\sqrt{1-k}]$，[$1+\sqrt{1-k}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為$（1-\sqrt{1-k}，1+\sqrt{1-k}）$；
3）k＜0時(shí)，1$-\sqrt{1-k}＜0$，$1+\sqrt{1-k}＞\sqrt{|k|}$；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（$-∞，1-\sqrt{1-k}$]，[1+$\sqrt{1-k}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為$（1-\sqrt{1-k}，\sqrt{|k|}），（\sqrt{|k|}，1+\sqrt{1-k}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性，找出函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，二次函數(shù)的符號(hào)和判別式△的關(guān)系，解一元二次方程，注意判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)，要正確求導(dǎo)．