Question

（本小題滿分14分）如圖，菱形的邊長為，，.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求證：平面，這是證明線面平行問題，證明線面平行，即證線線平行，可利用三角形的中位線，或平行四邊形的對邊平行，本題注意到是的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，因此由三角形的中位線可得，，從而可得平面；（2）求三棱錐的體積，由已知，由題意,可得，從而得平面，即平面，因此把求三棱錐的體積，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積，因?yàn)楦?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021306015516249835/SYS201502130602019594151244_DA/SYS201502130602019594151244_DA.017.png">，求出的面積即可求出三棱錐的體積.

試題解析：（１）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對角線的交點(diǎn)，

所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，

所以是的中位線，. 2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021306015516249835/SYS201502130602019594151244_DA/SYS201502130602019594151244_DA.022.png">平面,平面， 4分

所以平面. 6分

（２）三棱錐的體積等于三棱錐的體積. 7分

由題意，,

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021306015516249835/SYS201502130602019594151244_DA/SYS201502130602019594151244_DA.010.png">,所以，. 8分

又因?yàn)榱庑?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021306015516249835/SYS201502130602019594151244_DA/SYS201502130602019594151244_DA.019.png">，所以. 9分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021306015516249835/SYS201502130602019594151244_DA/SYS201502130602019594151244_DA.026.png">,所以平面，即平面 10分

所以為三棱錐的高. 11分

的面積為， 13分

所求體積等于. 14分

考點(diǎn)：線面平行的判定，幾何體的體積.