【題目】已知橢圓的短軸長為2,離心率,
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),與圓相切于點(diǎn),
①證明:(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));
②設(shè),求實(shí)數(shù)的取值范圍..
【答案】(1)(2)①證明見解析②
【解析】
(1)由題意可列出三個(gè)關(guān)于的方程:,解方程后即可得橢圓方程;
(2)①根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑,得與的等量關(guān)系,要證明,只需證明即可,從而將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理消去坐標(biāo),得到關(guān)于的代數(shù)式,再利用前面與的等量關(guān)系即可達(dá)到目的;
②直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),將代入橢圓的方程得,再由圓的垂徑定理可得,結(jié)合得到,由的范圍可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
解(1)∵∴
又
∴
∴橢圓的方程為
①∵直線與相切
∴,即
由消去得
設(shè)
則
∵
∴.
②∵直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),
∴
∴
由(2)①知
∴即
∴
又
∴的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?/span>,若將軍從點(diǎn)處出發(fā),河岸線所在直線方程為,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,則“將軍飲馬”的最短總路程為( ).
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年10月1日是新中國的第70個(gè)國慶日,莊重的閱兵、歡樂的游行、熱烈的聯(lián)歡盡顯祖國的繁榮昌盛.為了了解當(dāng)天某校900名高三學(xué)生的觀看情況,從中抽取了100名學(xué)生,情況如下表所示:
觀看情況 | 電視觀看 | 網(wǎng)絡(luò)觀看 | 沒有觀看 |
人數(shù) | 35 | 60 | 5 |
新時(shí)代下,網(wǎng)絡(luò)觀看使用最多的是手機(jī),其它還有電腦、ipad等.“是否使用手機(jī)觀看”與“學(xué)生的性別”之間對(duì)應(yīng)的列聯(lián)表如下:
使用手機(jī)觀看 | 其它方式觀看 | 合計(jì) | |
男學(xué)生 | 20 | 8 | 28 |
女學(xué)生 | 20 | 12 | 32 |
合計(jì) | 40 | 20 | 60 |
(1)估計(jì)該校高三學(xué)生當(dāng)天的觀看人數(shù).
(2)當(dāng)天沒有觀看的5名學(xué)生中,有3人第二天觀看了重播.從這5名學(xué)生中任選2人求這2人第二天都看了重播的概率;
(3)根據(jù)列聯(lián)表判斷,能否有95%的把握認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)觀看的學(xué)生中“是否使用手機(jī)觀看”與“學(xué)生的性別”有關(guān)?
附:,其中.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),時(shí),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九章算術(shù)是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典其中對(duì)勾股定理的論述比西方早一千多年,其中有這樣一個(gè)問題:“今有圓材埋在壁中,不知大小以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺問徑幾何?”其意為:今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸該材料,鋸口深一寸,鋸道長一尺問這塊圓柱形木料的直徑是多少?長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中,截面圖如圖所示陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分已知弦尺,弓形高寸,估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為( )(注:1丈尺寸,,)
A. 600立方寸 B. 610立方寸 C. 620立方寸 D. 633立方寸
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年暑假期間,河南有一新開發(fā)的景區(qū)在各大媒體循環(huán)播放廣告,觀眾甲首次看到該景區(qū)的廣告后,不來此景區(qū)的概率為,從第二次看到廣告起,若前一次不來此景區(qū),則這次來此景區(qū)的概率是,若前一次來此景區(qū),則這次來此景區(qū)的概率是.記觀眾甲第n次看到廣告后不來此景區(qū)的概率為,若當(dāng)時(shí),恒成立,則M的最小值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,點(diǎn)是上的定點(diǎn),、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且線段的中點(diǎn)在線段上.
(1)拋物線的方程及的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)、分別在第一、四象限時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列首項(xiàng)和公差都是,記的前n項(xiàng)和為,等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),公比為q,記的前n項(xiàng)和為:
(1)寫出構(gòu)成的集合A;
(2)若將中的整數(shù)項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列,求的一個(gè)通項(xiàng)公式;
(3)若q為正整數(shù),問是否存在大于1的正整數(shù)k,使得同時(shí)為(1)中集合A的元素?若存在,寫出所有符合條件的的通項(xiàng)公式,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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