【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù);

2)當(dāng)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)時(shí),求證:.

【答案】(1)分類討論,詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】

1)對求導(dǎo)得,令,再對求導(dǎo),根據(jù)的取值范圍確定的正負(fù),即可得解;

2)不妨設(shè),由題意,對函數(shù)求導(dǎo)后可得,由、單調(diào)性可得,再令,求導(dǎo)后可得,即可得證.

1.

設(shè),則.

,解得.

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

.

當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),,

且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

當(dāng)時(shí),有兩個零點(diǎn),即函數(shù)有兩個極值點(diǎn).

綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)為0;當(dāng)時(shí),函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù)為2.

2)由(1)知,、的兩個實(shí)數(shù)根,不妨設(shè)上單調(diào)遞減.

下面先證,只需證.

,

,.

設(shè),

,上單調(diào)遞減,

,.

函數(shù)上也單調(diào)遞減,.

要證,只需證,

即證.

設(shè)函數(shù),,則.

設(shè),則.

上單調(diào)遞增,,即.

上單調(diào)遞增,.

當(dāng)時(shí),,

,.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我們把活躍網(wǎng)店數(shù)量較多的村莊稱為淘寶村,隨著電子商務(wù)在中國的發(fā)展,不少農(nóng)村出現(xiàn)了一批專業(yè)的淘寶村,已知某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有多個淘寶村,現(xiàn)從該鄉(xiāng)鎮(zhèn)淘寶村中隨機(jī)抽取家商戶,統(tǒng)計(jì)他們某一周的銷售收入,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

銷售收入(收入)

商戶數(shù)

1)從這家商戶中按該周銷售收入超過萬元與不超過萬元分為組,按分層抽樣從中抽取家參加經(jīng)驗(yàn)交流會,并從這家中選家進(jìn)行發(fā)言,求選出的家恰有家銷售收入超過萬元的概率;

2)若這家商戶中有家商戶入駐兩家網(wǎng)購平臺,其中家銷售收入高于萬元,完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“銷售收入是否高于萬元與入駐兩家網(wǎng)購平臺有關(guān)”?

入駐兩家網(wǎng)購平臺

僅入駐一家網(wǎng)購平臺

合計(jì)

銷售收入高于萬元

銷售收入不高于萬元

合計(jì)

附:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為,的等差中項(xiàng),其中、、都是正數(shù),過點(diǎn)的直線與原點(diǎn)的距離為.

1)求橢圓的方程;

2)點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn),定點(diǎn),求面積的最大值;

3)已知定點(diǎn),直線與橢圓交于、相異兩點(diǎn).證明:對任意的,都存在實(shí)數(shù),使得以線段為直徑的圓過點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),

(1)求函數(shù)的極值;

(2)對,不等式都成立,求整數(shù)k的最大值;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若有兩個極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上,,是邊長為正三角形,分別是的中點(diǎn),,則球的體積為_________________。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的短軸長為2,離心率,

1)求橢圓方程;

2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),與圓相切于點(diǎn),

①證明:(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));

②設(shè),求實(shí)數(shù)的取值范圍..

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是:重量不超過的包裹收費(fèi)元;重量超過的包裹,除收費(fèi)元之外,超過的部分,每超出(不足,按計(jì)算)需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下:

包裹重量(單位:

包裹件數(shù)

公司對近天,每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表:

包裹件數(shù)范圍

包裹件數(shù)

(近似處理)

天數(shù)

以上數(shù)據(jù)已做近似處理,并將頻率視為概率.

(1)計(jì)算該公司未來天內(nèi)恰有天攬件數(shù)在之間的概率;

(2)(i)估計(jì)該公司對每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值;

(ii)公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤,剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺有工作人員人,每人每天攬件不超過件,工資元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減人,試計(jì)算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望,并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)購已經(jīng)逐漸融入了人們的生活.在家里面不用出門就可以買到自己想要的東西,在網(wǎng)上付款即可,兩三天就會送到自己的家門口,如果近的話當(dāng)天買當(dāng)天就能送到,或者第二天就能送到,所以網(wǎng)購是非常方便的購物方式.某公司組織統(tǒng)計(jì)了近五年來該公司網(wǎng)購的人數(shù)(單位:人)與時(shí)間(單位:年)的數(shù)據(jù),列表如下:

1

2

3

4

5

24

27

41

64

79

(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù),是否可用線性回歸模型擬合的關(guān)系,請計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明(計(jì)算結(jié)果精確到0.01).(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)

附:相關(guān)系數(shù)公式 ,參考數(shù)據(jù).

(2)建立關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測第六年該公司的網(wǎng)購人數(shù)(計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)).

(參考公式: ,

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案