Question

設△A_nB_nC_n的三邊長分別為a_n，b_n，c_n，面積為f（n），已知a₁=4，b₁=5，c₁=3，an+1=an，bn+1=

an+cn

2

，cn+1=

an+bn

2

(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n-c_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：無論n取何正整數(shù)，b_n+c_n恒為定值；
（Ⅲ）判斷函數(shù)f（n）（n∈N*）的單調性，并加以說明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a_n+1=a_n及a₁=4可求得a_n=4，可求得bn+1-cn+1=-

1

2

(bn-cn)，可判斷{b_n-c_n}是以-

1

2

為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求得b_n-c_n；
（Ⅱ）由b_n+1=

cn

2

+2，c_n+1=

bn

2

+2，得b_n+1+c_n+1=

bn+cn

2

+4，可變?yōu)閎_n+1+c_n+1-8=

bn+cn

2

-4=

1

2

(bn+cn-8)，再由b₁+c₁-8=5+3-8=0，可得結論；
（Ⅲ）由b_n+c_n=8，b_n-c_n=2•(-

1

2

)n-1，得b_n=4+(-

1

2

)n-1，c_n=4-(-

1

2

)n-1，利用余弦定理可求得cosA，進而得sinA，由三角形面積公式可表示出三角形的面積公式，根據(jù)基本函數(shù)的單調性可作出判斷；

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n，a₁=4，∴a_n=4，
∴b_n+1=

4+cn

2

=

cn

2

+2，cn+1=

bn+4

2

=

bn

2

+2，
∴bn+1-cn+1=

cn-bn

2

=-

1

2

(bn-cn)，又b₁-c₁=5-3=2，
∴{b_n-c_n}是以-

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴b_n-c_n=2•(-

1

2

)n-1；
（Ⅱ）∵b_n+1=

cn

2

+2，c_n+1=

bn

2

+2，
∴b_n+1+c_n+1=

bn+cn

2

+4，b_n+1+c_n+1-8=

bn+cn

2

-4=

1

2

(bn+cn-8)，
而b₁+c₁-8=5+3-8=0，∴b_n+c_n-8=0，
∴b_n+c_n=8；
（Ⅲ）由b_n+c_n=8，b_n-c_n=2•(-

1

2

)n-1，
得b_n=4+(-

1

2

)n-1，c_n=4-(-

1

2

)n-1，
令m=(-

1

2

)n-1，則a_n=4，b_n=4+m，c_n=4-m，則cosA=

m2+8

16-m2

，
∴sinA=

4 3 • 4-n2

16-m2

，
∴f（n）=S_△ABC=

1

2

×bn•cn•sinA=

1

2

×(16-m2)×

4 3 • 4-m2

16-m2

=2

3

4-m2

=2

3

4-( 1 4 )n-1

，
當n增大時，(

1

4

)n-1減小，

4-( 1 4 )n-1

增大，∴f（n） 遞增．

點評：本題考查由遞推式求數(shù)列通項、等比關系的確定及數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，考查學生分析問題解決問題的能力，本題綜合性較強，有一定難度．