Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[0，8]上有兩個不同的根x₁，x₂，則x₁+x₂=（　�。�

• A、0
• B、2
• C、4
• D、-8

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由已知等式可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱且求得函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，再由題意方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[0，8]上有兩個不同的根x₁，x₂，由對稱性求得x₁+x₂=4．

解答： 解：∵定義在R上的奇函數(shù)滿足f（x-4）=-f（x），
∴f（4-x）=f（x）且f（0）=0，
∴函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱．
由f（x-4）=-f（x），用（x-4）代換x，知f（x-8）=f（x），
∴函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，
∵f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[-2，0]上也是增函數(shù)，那么方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[-8，8]上有四個不同的根．
由題意方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[0，8]上有兩個不同的根x₁，x₂，
由對稱性知x₁+x₂=4．
故選：C．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性，對稱性及周期性的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵在于由已知等式得到函數(shù)對稱軸方程和周期，是基礎(chǔ)題．