Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+ϕ），（0＜ϕ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求f（

π

8

）的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由余弦函數(shù)為偶函數(shù)，確定Φ=kπ+

π

2

，k∈Z，0＜Φ＜π，可確定Φ的值；又y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

π

2

，從而求得ω，寫(xiě)出f（x），再求f（

π

8

）的值；
（Ⅱ）f（x）=

3

cos2x⇒g（x）=f（x-

π

6

），再由余弦函數(shù)的減區(qū)間，即可得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+ϕ）為偶函數(shù)，
∴Φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
∵0＜ϕ＜π，∴Φ=

π

2

，
又函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

π

2

．
則

T

2

=

π

2

，T=π．
則ω=

2π

T

=2，
則f（x）=

3

sin（2x+

π

2

）=

3

cos2x，
∴f（

π

8

）=

3

cos

π

4

=

6

2

．
（Ⅱ）由知f（x）=

3

cos2x，
∴g（x）=

3

cos2（x-

π

6

）=

3

cos（2x-

π

3

）．
由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，及圖象變換，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，重點(diǎn)考查三角函數(shù)的平移變換與單調(diào)性，屬于中檔題．