Question

定義函數(shù)φ(x)=f(x)=x2-2x(x2-a)φ(x2-a).

(1) 解關(guān)于a的不等式f(1)≤f(0);

(2) 已知函數(shù)f(x)在x∈[0,1]的最小值為f(1),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

 (1) f(1)≤f(0),即1-2(1-a)φ(1-a)≤0.

當(dāng)a>1時(shí),φ(1-a)=-1,所以1+2(1-a)≤0,解得a≥.

當(dāng)a≤1時(shí),φ(1-a)=1,所以1-2(1-a)≤0,解得a≤.

綜上,a的解集為{a|≤或a≥}.

(2) 由題意,∀x∈[0,1],f(x)≥f(1)恒成立.

1° 當(dāng)a≥1時(shí),

由f(x)≥f(1),得x2+2x(x2-a)≥3-2a,

即2a(x-1)≤2x3+x2-3.①

因?yàn)閤∈[0,1],①式即2a≥,

即2a≥2x2+3x+3,

上式對(duì)一切x∈[0,1]恒成立,所以2a≥2+3+3,

則a≥4.

2° 當(dāng)0<a≤1時(shí),由f(x)≥f(1),

得x2-2x(x2-a)φ(x2-a)≥2a-1.

(ⅰ) 當(dāng)≤x≤1時(shí),

x2-2x(x2-a)≥2a-1,即2a(x-1)≥2x3-x2-1.②

因?yàn)閤∈[0,1],②式即2a≤,

即2a≤2x2+x+1,

上式對(duì)一切x∈[0,1]恒成立,所以2a≤2a++1.此式恒成立.

(ⅱ) 當(dāng)0≤x<時(shí),

x2+2x(x2-a)≥2a-1,即2a(x+1)≤2x3+x2+1.③

因?yàn)閤∈[0,1],③式即2a≤,

即2a≤2x2-x+1.

1) 當(dāng)≤,即0<a≤時(shí),2a≤2()2-+1,所以a≤1.

結(jié)合條件得0<a≤.

2) 當(dāng)>,即<a≤1時(shí),

2a≤1-,所以a≤.

結(jié)合條件得<a≤,

由1),2)得0<a≤.

由1°,2°,得0<a≤或a≥4,即a的取值范圍為.