Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|log₂（x-1）|，作出 f（x）圖象，寫出f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并加以證明．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)f（x）表示為分段函數(shù)形式，進(jìn)行作圖即可，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行求解和判斷．

解答 解：由log₂（x-1）＞0得x-1＞1，即x＞2，
由log₂（x-1）≤0得0＜x-1≤1，即1＜x≤2，
即f（x）=|log₂（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x-1），}&{x＞2}\\{-lo{g}_{2}（x-1），}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$，
則對(duì)應(yīng)的圖象為：
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2]，
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）=-log₂（x-1），
證明：設(shè)1＜x₁＜x₂≤2，
則f（x₁）-f（x₂）=-log₂（x₁-1）-[-log₂（x₂-1）]=log₂（x₂-1）-log₂（x₁-1）=log₂$\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{1}-1}$，
∵1＜x₁＜x₂≤2，
∴0＜x₁-1＜x₂-1≤1，
則$\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{1}-1}$＞1，
∴l(xiāng)og₂$\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{1}-1}$＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
則函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象作圖以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．