已知向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(2cosβ，2sinβ)，
c
=(sinα+2sinβ，cosα+2cosβ)（0＜α＜β＜π），
a
與
b
的夾角為
π
3
，
（1）求β-α的值；
（2）若
a
⊥
c
，求tan2α的值．
分析：（1）直接利用數(shù)量積以及兩角差的余弦函數(shù)，求出cos(α-β)=
1
2
，判斷角的范圍即可求β-α的值；
（2）通過
a
⊥
c
，利用數(shù)量積為0，通過兩角和的正弦函數(shù)以及二倍角公式，結(jié)合β-α=
π
3
，即可求tan2α的值．
解答：解：（1）由
a
與
b
的夾角為
π
3
，得cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
，
即
1
2
=
2cosαcosβ+2sinαsinβ
1×2
…（2分）∴cos(α-β)=
1
2
…（4分）
又0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，∴β-α=
π
3
．…（6分）
（2）由
a
⊥
c
，得
a
•
c
=0，∴cosα（sinα+2sinβ）+sinα（cosα+2cosβ）=0…（8分）
即sin2α+2sin（α+β）=0，∵β=
π
3
+α，∴sin2α+2sin(
π
3
+2α)=0，
∴2sin2α+
3
cos2α=0，…（12分）
∴tan2α=-
3
2
．…（14分）
點評：本題通過向量的數(shù)量積為載體，考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應用，考查計算能力，邏輯推理能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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