Question

【題目】已知函數(shù)，，，，給出以下四個命題：（1）是偶函數(shù)；（2）是偶函數(shù)；（3）的最小值為；（4）有兩個零點；其中真命題的是______.

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）

【解析】

利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷（1）、（2）的正誤；利用導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)法求得函數(shù)的最小值，可判斷（3）的正誤；利用復(fù)合函數(shù)法與導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的零點個數(shù)，可判斷（4）的正誤.綜合可得出結(jié)論.

對于命題（1），對于函數(shù)，，即，解得或，

所以，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，

，則，

所以，函數(shù)為偶函數(shù)，命題（1）正確；

對于命題（2），對于函數(shù)，，

，令，得，且函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，，則函數(shù)的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，

所以，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，命題（2）錯誤；

對于命題（3），對于函數(shù)，，

由（2）知，函數(shù)的最小值為，則函數(shù)的最小值為，命題（3）正確；

對于命題（4），令，可得，則或，

由（2）知，，所以方程無解；

令，

由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，，

由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，

所以，方程有兩個實根，即函數(shù)有兩個零點，命題（4）正確.

故答案為：（1）（3）（4）.