【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面, 分別為棱的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)(文科)求三棱錐的體積;
(理科)求二面角的正切值.
【答案】(1)見解析(2)(文) (理)
【解析】試題分析:(1)取中點(diǎn),連結(jié),由三角形中位線定理可得且,再由已知可得且,從而得到是平行四邊形,則,然后利用線面平行的判定定理可得面;(2)取中點(diǎn),連結(jié),由面面垂直的性質(zhì)可得面,且,求出到面距離,然后利用等積法求得三棱錐的體積;(3)連交于,可得,得到,進(jìn)一步證得,可得是二面角的平面角,然后求解直角三角形可得二面角的正切值.
試題解析:
(1)證明:取PD中點(diǎn)G,連結(jié)GF、AG,
∵GF為△PDC的中位線,∴GF∥CD且,
又AE∥CD且,∴GF∥AE且GF=AE,
∴EFGA是平行四邊形,則EF∥AG,
又EF⊥面PAD,AG⊥面PAD,
∴EF∥面PAD;
(2)(文)解:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,
∵面PAD⊥面ABCD,△PAD為正三角形,∴PO⊥面ABCD,且,
又PC為面ABCD斜線,F(xiàn)為PC中點(diǎn),∴F到面ABCD距離,
故;
(理)連OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,
∴∠MEB=∠AOB,則∠MEB+∠MBE=90°,即OM⊥EC.
連PM,又由(2)知PO⊥EC,可得EC⊥平面POM,則PM⊥EC,
即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角,
在Rt△EBC中,,∴,
∴,即二面角P-EC-D的正切值為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=n﹣5an﹣85,n∈N+ .
(1)求an .
(2)求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并求出n為何值時(shí),Sn取得最小值?并說明理由.(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.3,lg 3≈0.48).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱A1B1C1 - ABC中,側(cè)棱AA1丄底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中點(diǎn),則下列敘述正確的是
A. CC1與B1E是異面直線 B. AC丄平面ABB1A1
C. A1C1∥平面AB1E D. AE與B1C1為異面直線,且AE丄B1C1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C: 的離心率是,拋物線E:的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(II)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.
(i)求證:點(diǎn)M在定直線上;
(ii)直線與y軸交于點(diǎn)G,記的面積為,的面積為,求 的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=sin(x﹣30°)+cos(x﹣60°),g(x)=2sin2 .
(1)若α為第一象限角且f(α)= ,求g(α)之值;
(2)求f(x﹣1080°)≥g(x)在[0,360°]內(nèi)的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)任意的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知以點(diǎn)C為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和B(3,4),且圓心在直線x+3y﹣15=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在圓C上,求△PAB的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖半圓柱的底面半徑和高都是1,面是它的軸截面(過上下底面圓心連線的平面),分別是上下底面半圓周上一點(diǎn).
(1)證明:三棱錐體積,并指出和滿足什么條件時(shí)有
(2)求二面角平面角的取值范圍,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)存在與直線平行的切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),若有極大值點(diǎn),求證: .
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