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【題目】如圖,我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島,小島B與小島A、小島C相距都為5n mile,與小島D相距為 n mile.小島A對小島B與D的視角為鈍角,且
(Ⅰ)求小島A與小島D之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積;
(Ⅱ)記小島D對小島B與C的視角為α,小島B對小島C與D的視角為β,求sin(2α+β)的值.

【答案】解:(Ⅰ)∵ ,且角A為鈍角,∴
在△ABD中,由余弦定理得:AD2+AB2﹣2ADABcosA=BD2
AD2+8AD﹣20=0.
解得AD=2或AD=﹣10(舍).
∴小島A與小島D之間的距離為2n mile.
∵A,B,C,D四點共圓,∴角A與角C互補.
,
在△BDC中,由余弦定理得:CD2+CB2﹣2CDCBcosC=BD2
CD2﹣8CD﹣20=0.
解得CD=﹣2(舍)或CD=10
∴S四邊形ABCD=SABC+SBCD
= = =3+15=18.
∴四個小島所形成的四邊形的面積為18平方n mile.
(Ⅱ)在△BDC中,由正弦定理得:
∵DC2+DB2>BC2 , ∴α為銳角,∴
又∵
∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]
=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)
= =
【解析】(Ⅰ)利用余弦定理求出,AD,CD,即可求小島A與小島D之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積;(Ⅱ)求出sin(α+β),cos(α+β),利用和角的三角函數公式求sin(2α+β)的值.

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