Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）討論的極值；

（Ⅱ）若曲線和曲線在點(diǎn)處有相同的切線，且當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)參數(shù)的取值判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到極值．（Ⅱ）由兩曲線的切線相同得，設(shè)，根據(jù)，解得．然后由得，再根據(jù)兩根的大小對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，通過(guò)分析是否滿足題意可得所求參數(shù)的范圍．

（Ⅰ）∵，

∴．

①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值．

②當(dāng)時(shí)，由得，

且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，有極小值，且，無(wú)極大值．

③當(dāng)時(shí)，由得，

且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時(shí)，有極大值，且，無(wú)極小值．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，，無(wú)極大值；

當(dāng)時(shí)， ，無(wú)極小值．

（Ⅱ）由題意得，

∵和在點(diǎn)處有相同的切線，

∴，即，解得，

∴．

令，

則，

由題意可得，解得．

由得．

①當(dāng)，即時(shí)，則，

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

∴上的最小值為，∴恒成立．

②當(dāng)，即時(shí)，則，

∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

又，

∴當(dāng)時(shí)，，即恒成立．

③當(dāng)，即時(shí)，

則有，

從而當(dāng)時(shí)，不可能恒成立．

綜上所述的取值范圍為．