【題目】在數(shù)列中,.從數(shù)列中選出項(xiàng)并按原順序組成的新數(shù)列記為,并稱為數(shù)列的項(xiàng)子列.例如數(shù)列、、、為的一個(gè)項(xiàng)子列.
(1)試寫出數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)子列,并使其為等差數(shù)列;
(2)如果為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)子列,且為等差數(shù)列,證明:的公差滿足;
(3)如果為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)子列,且為等比數(shù)列,證明:
.
【答案】(1)答案不唯一.如項(xiàng)子列,,;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
試題(1)根據(jù)題中的定義寫出一個(gè)項(xiàng)子列即可;(2)對(duì)是否等于進(jìn)行分類討論,結(jié)合條件“為等差數(shù)列”,利用公差推出矛盾,從而得到,再由結(jié)合證明;
(3)注意到數(shù)列各項(xiàng)均為有理數(shù),從而得到數(shù)列的公比為正有理數(shù),從而存在、使得,并對(duì)是否等于進(jìn)行分類討論,結(jié)合等比數(shù)列求和公式進(jìn)行證明.
試題解析:(1)答案不唯一.如項(xiàng)子列、、;
(2)由題意,知,
所以.
若,
由為的一個(gè)項(xiàng)子列,得,
所以.
因?yàn)?/span>,,
所以,即.
這與矛盾.
所以.
所以,
因?yàn)?/span>,,
所以,即,
綜上,得;
(3)由題意,設(shè)的公比為,
則.
因?yàn)?/span>為的一個(gè)項(xiàng)子列,
所以為正有理數(shù),且,.
設(shè),且、互質(zhì),).
當(dāng)時(shí),
因?yàn)?/span>,
所以
,
,
所以.
當(dāng)時(shí),
因?yàn)?/span>是中的項(xiàng),且、互質(zhì),
所以,
所以
.
因?yàn)?/span>,、,
所以.
綜上,.
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【題目】如圖,已知位于軸左側(cè)的圓與軸相切于點(diǎn)且被軸分成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為,直線與圓相交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求圓的方程;
(2)求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】如圖,在幾何體中,四邊形為菱形,對(duì)角線與的交點(diǎn)為,四邊形為梯形,,.
(1)若,求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)若,求與平面所成角的余弦值.
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【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)下的距離為10.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)過焦點(diǎn)F的的直線與拋物線C交于兩點(diǎn),且拋物線在兩點(diǎn)處的切線分別交x軸于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義區(qū)間,,,的長(zhǎng)度均為,其中.
(1)已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域?yàn)?/span>,寫出區(qū)間長(zhǎng)度的最大值與最小值.
(2)已知函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集,滿足 (是的非空真子集).集合, ,求的值域所在區(qū)間長(zhǎng)度的總和.
(3)定義函數(shù),判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn),并求不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度總和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直線PB與CD所成角的大小為,求BC的長(zhǎng);
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論的極值;
(Ⅱ)若曲線和曲線在點(diǎn)處有相同的切線,且當(dāng)時(shí),,求的取值范圍 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一塊黃銅板上插著三根寶石針,在其中一根針上從下到上穿好由大到小的若干金片.若按照下面的法則移動(dòng)這些金片:每次只能移動(dòng)一片金片;每次移動(dòng)的金片必須套在某根針上;大片不能疊在小片上面.設(shè)移完n片金片總共需要的次數(shù)為an,可推得a1=1,an+1=2an+1.如圖是求移動(dòng)次數(shù)在1000次以上的最小片數(shù)的程序框圖模型,則輸出的結(jié)果是( 。
A. 8B. 9C. 10D. 11
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【題目】如圖1,直角梯形中,中,,分別為邊和上的點(diǎn),且,.將四邊形沿折起成如圖2的位置,.
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.
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