Question

12．證明：
（1）${C}_{m+2}^{n}$=${C}_{m}^{n}$+2${C}_{m}^{n-1}$+${C}_{m}^{n-2}$；
（2）${C}_{n+1}^{m}$=${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$．

Answer 1

分析 首先利用組合數(shù)公式證明（2），嗯哼利用（2）的結(jié)論證明（1）．

解答 證明：（2）因?yàn)?{C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=$\frac{n!}{m!（n-m）!}+\frac{n!}{（m-1）!（n-m+1）!}$=$\frac{n!（n-m+1）+n!m}{m!（n-m+1）!}$=$\frac{n!（n+1）}{m!（n-m+1）!}$=$\frac{（n+1）!}{m!（n-m+1）!}$；
又${C}_{n+1}^{m}$=$\frac{（n+1）!}{m!（n-m+1）!}$，所以${C}_{n+1}^{m}$=${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$成立．
（1）因?yàn)?{C}_{n+1}^{m}$=${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$，所以${C}_{m}^{n}$+2${C}_{m}^{n-1}$+${C}_{m}^{n-2}$=（${C}_{m}^{n}+{C}_{m}^{n-1}$）+（${C}_{m}^{n-1}+{C}_{m}^{n-2}$）=${C}_{m+1}^{n}+{C}_{m+1}^{n-1}$=${C}_{m+2}^{n}$；所以等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了組合數(shù)公式以及性質(zhì)的運(yùn)用；熟練掌握公式是關(guān)鍵．