（1）證明：函數(shù)f（x）=x+
4
x
在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）探究函數(shù)f（x）=x+
a
x
（a＞0）的單調(diào)性（只需寫出結(jié)論，不用證明）．
分析：（1）利用增函數(shù)的定義即可證明；
（2）利用奇函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及“勾函數(shù)”的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（1）f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)任意x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2
則f(x1)-f(x2)=x1-x2+
4
x1
-
4
x2
=(x1-x2)
x1x2-4
x1x2
，
由x1＜x2得x1-x2＜0，由x1，x2∈（2，+∞）得x1x2＞4．
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函數(shù)f（x）=x+
4
x
在（2，+∞）上單調(diào)遞增．        
（2）由上及f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，可得結(jié)論：
f（x）在(-∞，-
a
]和[
a
，+∞)上是增函數(shù)，
f（x）在[-
a
，0)和(0，
a
]上是減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握奇函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及“勾函數(shù)”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
4x+2

（1）證明：函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)(
1
2
，
1
4
)對(duì)稱．
（2）求f(0)+f(
1
8
)+f(
2
8
)+…+f(
7
8
)+f(1)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a
2
-
2x
2x+1
（a為常數(shù)）
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=8ln（1+ex）-9x．
（1）證明：函數(shù)f（x）對(duì)于定義域內(nèi)任意x1，x2（x1≠x2）都有：f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
成立．
（2）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，求證：△ABC是鈍角三角形，但不可能是等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江西模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{an}滿足0＜a1＜1，an+1=f（an）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)；
（2）求證：0≤an+1＜an＜1；
（3）若a1=
2
2
，求證：an≤
1
2n
（n≥2，n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(
x+y
1-xy
)； ②當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0，回答下列問(wèn)題．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-1，1）上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．
（3）證明：f(
1
7
)+f(
1
13
)+…+f(
1
n2+3n+3
)＞f(
1
2
)，（n∈Z）．

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