Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)三點(diǎn)作圓  
（Ⅰ）若線(xiàn)段是圓的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線(xiàn)上，求橢圓的方程;
（Ⅲ）若直線(xiàn)交（Ⅱ）中橢圓于，交軸于，求的最大值  

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1

試題分析：（Ⅰ）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角建立參數(shù)的關(guān)系，然后求之；（Ⅱ）利用圓心在直線(xiàn)上尋找參數(shù)的關(guān)系，然后求之；（Ⅲ）直線(xiàn)與橢圓的相交問(wèn)題采用設(shè)而不求的思路，利用坐標(biāo)表示出的表達(dá)式，然后使用基本不等式求解
試題解析：（Ⅰ）由橢圓的方程知，點(diǎn)，，設(shè)F的坐標(biāo)為，
是的直徑，，      2分
解得，橢圓離心率    4分
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)，
圓心P既在FC的垂直平分線(xiàn)上，也在BC的垂直平分線(xiàn)上，
FC的垂直平分線(xiàn)方程為       ①
的中點(diǎn)為，的垂直平分線(xiàn)方程為  ②
由①②得，即         7分
在直線(xiàn)上，,。
由得，橢圓的方程為          9分
（Ⅲ）由得     （*）
設(shè)，則
       11分

         13分
當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào)。此時(shí)方程（*）中的Δ>0,
的最大值為1        13分