Question

已知拋物線C：y²=x，過定點A（x₀，0）(x0≥

1

8

)，作直線l交拋物線于P，Q（點P在第一象限）．
（Ⅰ）當點A是拋物線C的焦點，且弦長|PQ|=2時，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點為M，直線PM交x軸于點B，且BP⊥BQ．求證：點B的坐標是（-x₀，0）并求點B到直線l的距離d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的焦點坐標，然后假設(shè)直線l的方程為：x=ny+

1

4

，將P，Q的坐標設(shè)出，聯(lián)立直線和拋物線方程消去x得到兩根之和，然后根據(jù)|PQ|的長度得到n的值．
（2）先設(shè)l：x=my+x₀（m≠0），再根據(jù)對稱性得到點M的坐標，聯(lián)立l與拋物線的方程消去x得到兩根之和、兩根之積，表示出

BM

和

BP

根據(jù)

BM

∥

BP

，得到關(guān)系式x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．再代入兩根之和、兩根之積可證明點B的坐標是（-x₀，0）．先確定△BMQ為等腰直角三角形，得到k_PB=1，再表示出點B到直線l的距離d即可求范圍．

解答：解：（Ⅰ）由拋物線C：y²=x得拋物線的焦點坐標為(

1

4

，0)，
設(shè)直線l的方程為：x=ny+

1

4

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y2=x x=ny+ 1 4

得y2-ny-

1

4

=0．
所以△=n²+1＞0，y₁+y₂=n．因為x1=ny1+

1

4

，x2=ny2+

1

4

，
所以|PQ|=x1+

1

4

+x2+

1

4

=x1+x2+

1

2

=n(y1+y2)+1=2．
所以n²=1．即n=±1．
所以直線l的方程為：x-y-

1

4

=0或x+y-

1

4

=0．
（Ⅱ）設(shè)l：x=my+x₀（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則M（x₂，-y₂）．
由

x=my+x0 y2=x

得y²-my-x₀=0．
因為x0≥

1

8

，所以△=m²+4x₀＞0，y₁+y₂=m，y₁y₂=-x₀．
（�。┰O(shè)B（x_B，0），則

BM

=(x2-xB，-y2)，

BP

=(x1-xB，y1)．
由題意知：

BM

∥

BP

，∴x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．
即（y₁+y₂）x_B=x₁y₂+x₂y₁=y₁²y₂+y₂²y₁=（y₁+y₂）y₁y₂．
顯然y₁+y₂=m≠0，∴x_B=y₁y₂=-x₀．∴B（-x₀，0）．
（ⅱ）由題意知：△BMQ為等腰直角三角形，∴k_PB=1，
即

y1+y2

x1-x2

=1，即

y1+y2

y12-y22

=1．∴y₁-y₂=1．
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=1．∴m²+4x₀=1．∴m²=1-4x₀＞0．
∴x0＜

1

4

．∵x0≥

1

8

，∴

1

8

≤x0＜

1

4

．
∴d=

2x0

m2+1

=

2x0

2-4x0

=

2

( 1 x0 )2-2( 1 x0 )

=

2

( 1 x0 -1)2-1

∈[

6

12

，

1

2

)．
即d的取值范圍是[

6

12

，

1

2

)．

點評：本題主要考查拋物線和直線的綜合題．圓錐曲線和直線的綜合題是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．