Question

（2012•邯鄲一模）如圖，已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=

2

．
（Ⅰ）求證：平面EAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-EC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接EO，CO．由題意，可得△AEB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，得EO⊥AB，再由等邊三角形△ACB
的高線CO=

3

，得到平方關(guān)系：EC²=EO²+CO²，得EO⊥CO，所以EO⊥平面ABCD，從而得到平面EAB⊥平面ABCD；
（II）以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B、OE所在直線分別為y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出A、C、D、E各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

AC

、

EC

、

DC

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法，建立方程組并解之，分別可求得平面DEC和平面EAC的法向量

n

、

m

的坐標(biāo)，最后利用空間向量的夾角公式，可算出二面角A-EC-D的余弦值．

解答：解：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接EO，CO
∵△AEB中，AE=EB=

2

，AB=2
∴AE²+EB²=2=AB²，得△AEB為等腰直角三角形
∴EO⊥AB，EO=1…（2分）
又∵△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°
∴△ACB是等邊三角形，得CO=

3

2

AB=

3

，
又∵EC=2，∴△ECO中，EC²=4=EO²+CO²，得EO⊥CO…（4分）
∵AB、CO是平面ABCD內(nèi)的相交直線，∴EO⊥平面ABCD，
又∵EO?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD；…（6分）
（II）以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B所在直線為y軸，OE所在直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，-1，0)，C(

3

，0，0)，D(

3

，-2，0)，E(0，0，1)
∴

AC

=(

3

，1，0)， 

EC

=(

3

，0，-1)，

DC

=(0，2，0)…（8分）
設(shè)平面DCE的法向量

n

=(x，y，1)
∴

EC • n =0 DC • n =0

，即

3 x-1=0 2y=0

，解得

x= 3 3 y=0

，∴

n

=(

3

3

，0，1)
設(shè)平面EAC的法向量

m

=(a，b，1)
∴

AC • m =0 EC • m =0

，即

3 a+b=0 3 a-1=0

，解得

a= 3 3 b=-1

，∴

m

=(

3

3

，-1，1)…（10分）
∵根據(jù)空間向量的夾角公式，得cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2 7

7

∴二面角A-EC-D的余弦值為

2 7

7

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求二面角的余弦值，著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量的方法求面面所成角的知識(shí)，屬于中檔題．