Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+a，（a≥0）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）|≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．|

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再令f（x）=0，求得x的值，即為所求．
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，利用二次函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、分類討論求得a的范圍，可得實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：（1）若a=1，函數(shù)f（x）=x|x-a|+a=x|x-1|+1=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-1）+1，x≥1}\\{x（1-x）+1，x＜1}\end{array}\right.$，
令f（x）=0，求得x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．
（2）若x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）|≤1恒成立，則-1≤f（x）≤1．
又 f（x）=x|x-a|+a=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax+a，x＜a}\end{array}\right.$，（a≥0），如圖所示：
①當(dāng)$\frac{a}{2}$≤1，即0≤a≤2時(shí)，在[-1，1]上，f（x）的最大值為f（$\frac{a}{2}$）=a+$\frac{1}{4}$a²，最小值f（-1）=-1，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{|f（\frac{a}{2}）|=|a-\frac{{a}^{2}}{4}|≤1}\\{|f（-1）=|-1|≤1}\end{array}\right.$，求得 0≤a≤2．
②當(dāng)$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2時(shí)，在[-1，1]上，f（x）的最大值為f（1）=-1+2a，最小值f（-1）=-1，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{|f（1）|=|-1+2a|≤1}\\{|f（-1）|=|-1|≤1}\end{array}\right.$，求得a∈∅．
綜上可得，a的最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．