Question

一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和大于2ⁿ，則算過關(guān)．問：
（1）某人在這項(xiàng)游戲中最多能過幾關(guān)？
（2）他連過前三關(guān)的概率是多少？

Answer 1

（1）設(shè)他能過n關(guān)，則第n關(guān)擲n次，至多得6n點(diǎn)，由6n＞2ⁿ，知，n≤4，即最多能過4關(guān)．
（2）要求他第一關(guān)時(shí)擲1次的點(diǎn)數(shù)＞2，第二關(guān)時(shí)擲2次的點(diǎn)數(shù)和＞4，第三關(guān)時(shí)擲3次的點(diǎn)數(shù)和＞8．
第一關(guān)過關(guān)的概率=

4

6

=

2

3

；
第二關(guān)過關(guān)的基本事件有6²種，不能過關(guān)的基本事件為不等式x+y≤4的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，有

C

24

個(gè) （亦可枚舉計(jì)數(shù)：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1）計(jì)6種，過關(guān)的概率=1-

6

62

=

5

6

；
第三關(guān)的基本事件有6³種，不能過關(guān)的基本事件為方程x+y+z≤8的正整數(shù)解的總數(shù)，可連寫8個(gè)1，從8個(gè)空檔中選3個(gè)空檔的方法為

C

38

=

8×7×6

3×2×1

=56種，不能過關(guān)的概率=

56

63

=

7

27

，能過關(guān)的概率=

20

27

；
∴連過三關(guān)的概率=

2

3

×

5

6

×

20

27

=

100

243

．