Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{4-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，若存在實(shí)數(shù)a，b，x∈R，a≤f（x）≤b，則b-a的最小值為5．

Answer 1

分析 由y=$f（x）=\frac{{4-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，求得 2^x=$\frac{4-y}{y+1}$＞0，由此求得函數(shù)的值域，從而求得b-a的最小值．

解答 解：令y=$f（x）=\frac{{4-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，
求得 2^x=$\frac{4-y}{y+1}$＞0，
∴$\frac{y-4}{y+1}$＜0，
解得-1＜y＜4，即-1＜f（x）＜4，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，4），
故b-a的最小值為4-（-1）=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評 本題主要考查最值的求法，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的值域和二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．