【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)和焦距都等于2，是橢圓上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過且斜率等于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：直線的斜率為定值；

（3）求面積的最大值．

【答案】（1）（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可求得和的值，求得橢圓方程；

（2）利用點(diǎn)差法即可求證直線的斜率為定值；

（3）設(shè)直線的方程，由，將直線的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式及基本不等式即可求得面積的最大值．

（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，，則，

所以的方程為；

（2）設(shè)，，，，則，，直線的斜率，

由，兩式相減，，

由直線，所以，

直線的斜率為定值；

（3）因?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，

由（1）可知的斜率，設(shè)方程為且，

到的距離

由，整理得：，

所以，

所以，

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過點(diǎn)P作直線l.

(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；

(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于點(diǎn)P的直線方程y＝g(x)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市2011年至2017年新開樓盤的平均銷售價(jià)格(單位：千元/平方米)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

年份

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年份代號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

銷售價(jià)格

3

3.4

3.7

4.5

4.9

5.3

6

（1）求關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2011年至2017年該市新開樓盤平均銷售價(jià)格的變化情況，并預(yù)測(cè)該市2019年新開樓盤的平均銷售價(jià)格。

附：參考公式： ，，其中為樣本平均值。

參考數(shù)據(jù)： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下述三個(gè)事件按順序分別對(duì)應(yīng)三個(gè)圖象，正確的順序是（ ）

（1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；（2）我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；（3）我出發(fā)后，心情輕松，緩慢行進(jìn)，后來為了趕時(shí)間開始加速.

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)記.（1）若，則=____________；（2）若，存在使得成立，則的取值范圍是_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的離心率為，左頂點(diǎn)B與右焦點(diǎn)之間的距離為3．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過且斜率不為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)分別與直線交于兩點(diǎn). 若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，對(duì)于任意的m，n∈(0，＋∞)，都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.

(1)求證：1是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；

(2)求證：f(x)是(0，＋∞)上的減函數(shù)；

(3)當(dāng)f(2)＝時(shí)，解不等式f(ax＋4)>1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù).

（1）畫出函數(shù)圖象并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；

（2）判斷奇偶性，并指出單調(diào)區(qū)間.

（3）求函數(shù)在時(shí)的值域.

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