Question

20．如圖，三棱錐C-ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O為BD的中點(diǎn)，∠AOC=120°，P為AC上一點(diǎn)，Q為AO上一點(diǎn)，且$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AQ}{QO}$=2．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）求證：PO⊥平面ABD；
（Ⅲ）求四面體ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：PQ∥CO，利用線面平行的判定定理證明PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）證明BD⊥PO，OP⊥OA，即可證明：PO⊥平面ABD；
（Ⅲ）求出P-ABD的體積，即可求四面體ABCD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵$\frac{AP}{PC}=\frac{AQ}{QO}$，∴PQ∥CO
又∵PQ?平面BCD，CO?平面BCD，
∴PQ∥平面BCD…（4分）
（Ⅱ）證明：由等邊△ABD，等邊△BCD，O為BD的中點(diǎn)得：BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O，
∴BD⊥平面AOC．
又∵PO?平面AOC，∴BD⊥PO
在△AOC中，∠AOC=120°，$AO=OC=\sqrt{3}$，
∴∠OAC=30°，$AC=\sqrt{O{A^2}+O{C^2}-2•OA•OC•cos{{120}°}}=3$…（7分）
∴AP=2
在△AOP中，由余弦定理得：OP=1…（8分）
∴OP⊥OA…（9分）
又OA∩BD=O，
∴PO⊥平面ABD…（10分）
（Ⅲ）解：∵PO⊥平面ABD，
$\begin{array}{l}{V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•PO=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}A{B^2}•PO\\=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}•4•1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}$
∵$\frac{CA}{CP}=\frac{3}{2}$
∴${V_{C-ABD}}=\frac{3}{2}{V_{P-ABD}}=\frac{3}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查體積的計(jì)算，正確運(yùn)用線面平行、線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．