Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

2

，且a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，求證：點(diǎn)（m，k）在直線y=2x-

1

2

上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得

a+b=3 c a = 3 2 a2=b2+c2

解得即可．
（2）由（1）知：A（-2，0），B（2，0），D（0，1），可得直線AD的方程為y=

1

2

x+1，由題意直線BP的方程為y=k（x-2），k≠0，且k≠±

1

2

，聯(lián)立可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．設(shè)P（x₁，y₁），由直線BP的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．設(shè)N（x₂，0），則由P，D，N三點(diǎn)共線得，k_DP=k_DN．即可證明．

解答： （1）解：由

a+b=3 c a = 3 2 a2=b2+c2

解得

a=2 b=1 c= 3

，
∴橢圓C 的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）證明：由（1）知：A（-2，0），B（2，0），D（0，1），
∴直線AD的方程為y=

1

2

x+1，
由題意，直線BP的方程為y=k（x-2），k≠0，且k≠±

1

2

，
由

y= 1 2 x+1 y=k(x-2)

解得M(

4k+2

2k-1

， 

4k

2k-1

)．
設(shè)P（x₁，y₁），則由

y=k(x-2) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
∴2x1=

16k2-4

4k2+1

，
∴y1=k(x1-2)=-

4k

4k2+1

．
∴P(

8k2-2

4k2+1

，  -

4k

4k2+1

)．
設(shè)N（x₂，0），則由P，D，N三點(diǎn)共線得，k_DP=k_DN．
即

- 4k 4k2+1 -1

8k2-2 4k2+1

=

-1

x2

，
∴x2=

8k2-2

4k2+4k+1

=

4k-2

2k+1

，
∴N(

4k-2

2k+1

， 0)．
∴MN的斜率m=

4k 2k-1 -0

4k+2 2k-1 - 4k-2 2k+1

=

2k+1

4

．
∴k=2m-

1

2

，即點(diǎn)（m，k）在直線y=2x-

1

2

上．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得跟與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、三點(diǎn)共線，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．