Question

已知函數(shù)f（x）=x•lnx，g（x）=ax³-

1

2

x-

2

3e

．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間和最小值；
（2）若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）在交點處存在公共切線，求實數(shù)a的值；
（3）若x∈（0，e²]時，函數(shù)y=f（x）的圖象恰好位于兩條平行直線l₁：y=kx；l₂：y=kx+m之間，當l₁與l₂間的距離最小時，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，也為最值；
（2）分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)公切點處的橫坐標為x_°，分別求出切線方程，再聯(lián)立解方程，即可得到a；
（3）求出兩直線的距離，再令h（x）=xlnx-（lnx_°+1）x-x_°，求出導(dǎo)數(shù)，運用單調(diào)性即可得到最小值，進而說明當d最小時，x_°=e，m=-e．

解答： 解：（1）因為f'（x）=lnx+1，由f'（x）＞0，得x＞

1

e

，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(

1

e

，+∞)，
又當x∈(0，

1

e

)時，f'（x）＜0，則f（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)減，
當x∈(

1

e

，+∞)時，f'（x）＞0，則f（x）在(

1

e

，+∞)上單調(diào)增，
所以f（x）的最小值為f(

1

e

)=-

1

e

． 
（2）因為f'（x）=lnx+1，g′(x)=3ax2-

1

2

，
設(shè)公切點處的橫坐標為x_°，
則與f（x）相切的直線方程為：y=（lnx_°+1）x-x_°，
與g（x）相切的直線方程為：y=(3ax°2-

1

2

)x-2ax°3-

2

3e

，
所以

lnx°+1=3ax°2- 1 2 -x°=-2ax°3- 2 3e

，
解之得x°lnx°=-

1

e

，
由（1）知x°=

1

e

，所以a=

e2

6

． 
（3）若直線l₁過（e²，2e²），則k=2，此時有l(wèi)nx_°+1=2（x_°為切點處的橫坐標），
所以x_°=e，m=-e，
當k＞2時，有l(wèi)₂：y=（lnx_°+1）x-x_°，l₁：y=（lnx_°+1）x，且x_°＞2，
所以兩平行線間的距離d=

x°

1+(lnx°+1)2

，
令h（x）=xlnx-（lnx_°+1）x+x_°，因為h'（x）=lnx+1-lnx_°-1=lnx-lnx_°，
所以當x＜x_°時，h'（x）＜0，則h（x）在（0，x_°）上單調(diào)減；
當x＞x_°時，h'（x）＞0，則h（x）在(x°，e2)上單調(diào)增，
所以h（x）有最小值h（x_°）=0，即函數(shù)f（x）的圖象均在l₂的上方，
令t(x)=

x2

ln2x+2lnx+2

，
則t′(x)=

2xln2x+4xlnx+4x-2xlnx-2x

(ln2x+2lnx+2)2

=

2xln2x+2xlnx+2x

(ln2x+2lnx+2)2

＞0，
所以當x＞x_°時，t（x）＞t（x_°），
所以當d最小時，x_°=e，m=-e．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程、求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查兩直線的距離和構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再運用求最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．