Question

（2013•黃浦區(qū)二模）某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，在試驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間x（小時(shí)）之間滿足y=

ax x2+1 ，(0＜x＜1) a•2x-1 4x-1+1 ，(x≥1)

，其對(duì)應(yīng)曲線（如圖所示）過點(diǎn)(2，

16

5

)．
（1）試求藥量峰值（y的最大值）與達(dá)峰時(shí)間（y取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值）；
（2）如果每毫升血液中含藥量不少于1微克時(shí)治療疾病有效，那么成人按規(guī)定劑量服用該藥一次后能維持多長(zhǎng)的有效時(shí)間？（精確到0.01小時(shí)）

Answer 1

分析：（1）由曲線過點(diǎn)(

1

2

，

16

5

)，代入曲線方程，求出a值，確定函數(shù)關(guān)系式；再分別求出分段函數(shù)各段上的最大值進(jìn)行比較，從而得出藥量峰值（y的最大值）與達(dá)峰時(shí)間；
（2）把y=1分別代入兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式求時(shí)間，再求時(shí)間差，即可得出服用該藥一次后能維持多長(zhǎng)的有效時(shí)間．

解答：解：（1）由曲線過點(diǎn)(

1

2

，

16

5

)，可得

a× 1 2

1 4 +1

=

16

5

，故a=8…（2分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y=

8x

x2+1

＜

8x

2x

=4，…（3分）
當(dāng)x≥1時(shí)，設(shè)2^x-1=t，可知t≥1，y=

8×2x-1

4x-1+1

=

8t

t2+1

≤

8t

2t

=4（當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，y=4）…（5分）
綜上可知y_max=4，且當(dāng)y取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值為1
所以藥量峰值為4mg，達(dá)峰時(shí)間為1小時(shí)．                   …（6分）
（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由

8x

x2+1

=1，可得x²-8x+1=0，
解得x=4±

15

，又4+

15

＞1，故x=4-

15

．             …（8分）
當(dāng)x≥1時(shí)，設(shè)2^x-1=t，則t≥1，
由

8×2x-1

4x-1+1

=1，可得

8t

t2+1

=1，解得t=4±

15

，
又t≥1，故t=4+

15

，所以2x-1=4+

15

，
可得x=log2(4+

15

)+1．　　　　　　　　 …（12分）
由圖象知當(dāng)y≥1時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍是[4-

15

，log2(4+

15

)+1]，
∵log2(4+

15

)+1-(4-

15

)≈3.85，
所以成人按規(guī)定劑量服用該藥一次后能維持大約3.85小時(shí)的有效時(shí)間．  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及分段函數(shù)求解析式和指數(shù)不等式的求解，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．