Question

數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，a₁=1，an+2=

an+1+an

2

(n∈N*)
（1）求公比q；
（2）令b_n=na_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a_n+2=a_nq²，a_n+1=a_nq，分別代入an+2=

an+1+an

2

中，得到關(guān)于q的方程，求出方程的解即可得到q的值；
（2）根據(jù)首項(xiàng)為1和求出的兩個(gè)q的值分別寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入b_n=na_n中即可得到{b_n}的通項(xiàng)公式，然后分別根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的值即可．

解答：解：（1）∵{a_n}為公比為q的等比數(shù)列，a_n+2=

an+1+an

2

（n∈N^*），
∴a_n•q²=

anq+an

2

，即2q²-q-1=0，
解得q=-

1

2

或q=1；
（2）當(dāng)a_n=1時(shí)，b_n=n，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
當(dāng)a_n=(-

1

2

)n-1時(shí)，b_n=n•(-

1

2

)n-1，
S_n=1+2•（-

1

2

）+3•(-

1

2

)2+…+（n-1）•(-

1

2

)n-2+n•(-

1

2

)n-1①，
-

1

2

S_n=（-

1

2

）+2•(-

1

2

)2+…+（n-1）•(-

1

2

)n-1+n(-

1

2

)n②，
①-②得

3

2

S_n=1+(-

1

2

) +(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1-n(-

1

2

)n
=

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

-n•(-

1

2

)n=

2

3

-

2

3

(-

1

2

)n-

n

•

(-

1

2

)nS_n=

4

9

-

4

9

(-

1

2

)n-

2n 3

•

(-

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是一道綜合題．