Question

【題目】已知橢圓C:l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,1),且離心率e.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l與橢圓C相交于AB兩點(diǎn),且滿足∠AOB=90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求|AB|的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2)[,2].

【解析】

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得一個(gè)關(guān)系式，離心率得，結(jié)合可求得，得橢圓方程；

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí), 設(shè)直線l為:x=m,代入計(jì)算，當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線為:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入橢圓中整理，由韋達(dá)定理得，代入得出的關(guān)系，計(jì)算，用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的取值范圍得出結(jié)論．

(1)由題意:e,1,a2=b2+c2,解得:a2=8,b2=4,所以橢圓的方程為:;

(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)直線l為:x=m,A(x,y),B(,),代入橢中:y2=4(1),

∠AOB=90°,∴0,∴x+y=m2﹣4(1)=0,∴m2,

∴|AB|=|y﹣|=4;

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線為:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入橢圓中整理得:

(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,

x+,x,=k2xx'+km(x+)+m2,

∵∠AOB=90°,∴x+y=0,∴2m2﹣8+m2﹣8k2=0,∴3m2=8+8k2,

|AB|,

令t∈(0,1],所以|AB|,

當(dāng)t,g(t)=1(t2﹣t)最大為 ,t=1時(shí),g(t)取得最小值1,

綜上所述:|AB|的取值范圍[,2].