Question

如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC丄平面ABCD，PC=

2

a，E是PA的中點．
（1）求證：平面PBD丄平面PAC
（2）求三棱錐P-ECB的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的幾何特征，及PC丄平面ABCD，可得BD⊥平面PAC，進而根據(jù)面面垂直的判定定理，得到平面PBD丄平面PAC
（2）由（1）中BD⊥平面PAC，即BD⊥平面PEC，即BD為三棱錐P-ECB的面PEC上的高，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）在菱形ABCD中
BD⊥AC
∵PC丄平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PC丄BD
∵AC∩PC=C，AC，PC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC，又∵BD?平面PBD
∴平面PBD丄平面PAC
（2）由（1）得BD丄平面PAC，即BD丄平面PEC
∵AC=a，∠ABC=60°
∴BD=

3

2

a
又∵PC=

2

a，E是PA的中點．
∴S_△PAE=

1

2

•S_△PAC=

2

4

a2
∴三棱錐P-ECB的體積V=

1

3

BD•S_△PAE=

1

3

•

3

2

a•

2

4

a2=

6

24

a3

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直及面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是求出BD為三棱錐P-ECB的面PEC上的高．