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設二次函數f(x)=ax2bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩根x1、x2滿足0<x1x2

(1)當x∈(0,x1)時,證明xf(x)<x1;

 

(2)設函數f(x)的圖象關于直線x=x0對稱;

證明:x0

解:

(1)令F(x)=f(x)-x,由x1、x2是方程f(x)-x=0的兩根,有F(x)=a(xx1)(xx2

 

x∈(0,x1)時,由x1x2,及a>0,有F(x)=a(xx1)(xx2)>0,?

 

即F(x)=f(x)-x>0,f(x)>x.?

 

x1f(x)=x1-[x+F(x)]=x1xaxx1)(xx2)=(x1x)[1+axx2)]

因為0<xx1x2

 

所以x1x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0

 

x1f(x),所以xf(x)<x1;?

 

(2)依題意x0=-,因x1、x2f(x)-x=0的根,即x1、x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.

所以x1x2=-,

 

x0=-Equation.3

 

因為ax2<1,即ax2-1<0,故x0

 

評述:此題考查一元二次方程、二次函數和不等式的基礎知識,考查綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力.考查證明不等式的方法.


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(1)

f(1)的值

(2)

f(x)的解析式

(3)

求最大的實數t,使得當x∈[1,3]時,f(xt)≤x恒成立.

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