Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x-α）+2cosx，（其中a為常數(shù)），給出下列五個命題：
①函數(shù)f（x）的最小值為-3；
②函數(shù)f（x）的最大值為h（a），且h（a）的最大值為3；
③存在a，使函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
④存在a，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
⑤a=

π

6

時，（-

π

3

，0）是函數(shù)f（x）的一個對稱中心；
其中正確的命題序號為

 

（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：運用兩角和差的正弦公式，化簡f（x），由正弦函數(shù)的值域，即可判斷①，②；
令cosα=0，可得α，即可判斷③；2-sinα∈[1，3]，即cosx的系數(shù)不可能為0，即可判斷④；
a=

π

6

時，化簡f（x），代入x=-

π

3

，計算f（x），由對稱性即可判斷⑤．

解答： 解：函數(shù)f（x）=sin（x-α）+2cosx=sinxcosα+cosx（2-sinα）
=

cos2α+(2-sinα)2

sin（x+θ）（θ為輔助角）=

5-4sinα

sin（x+θ）．
對于①，f（x）的最小值為-

5-4sinα

，則①錯；
對于②，f（x）的最大值為h（α）=

5-4sinα

，當(dāng)sinα=-1時，h（α）的最大值為3，則②對；
對于③，由f（x）=sinxcosα+cosx（2-sinα），當(dāng)α=kπ+

π

2

（k∈Z），cosα=0，sinα=±1，
f（x）=cosx或3cosx，則為偶函數(shù)．則③對；
對于④，由f（x）=sinxcosα+cosx（2-sinα），可得2-sinα∈[1，3]，即cosx的系數(shù)不可能為0，
則f（x）不為奇函數(shù)，則④錯；
對于⑤，當(dāng)a=

π

6

時，f（x）=sinxcos

π

6

+cosx（2-sin

π

6

）=

3

2

cosx+

3

2

sinx=

3

sin（x+

π

3

），
當(dāng)x=-

π

3

，f（x）=

3

sin（-

π

3

+

π

3

）=0，即有（-

π

3

，0）是函數(shù)f（x）的一個對稱中心，則⑤對．
故答案為：②③⑤．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)的值域，考查三角函數(shù)的奇偶性和對稱性，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．