Question

已知橢圓的短軸長為2

3

，焦點坐標分別是（-1，0）和（1，0）．
（1）求這個橢圓的標準方程；
（2）如果直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點A，B，求m的取值范圍；
（3）若（2）中m=1，求該直線與此橢圓相交所得弦長|AB|的值．

Answer 1

分析：（1）先由題分析出橢圓的焦點在x軸上且2b=2

3

，c=1，求出a，b即可求橢圓的標準方程；
（2）聯立直線方程與橢圓方程，整理為關于的一元二次方程；再結合直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點知道對應的方程有兩個不等實根，判別式大于0即可求出m的取值范圍；
（3）求出A，B的坐標，即可求得弦長|AB|．

解答：解：（1）由題得橢圓的焦點在x軸上且2b=2

3

，c=1
∴b=

3

，a²=b²+c²=4．
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）直線y=x+m代入橢圓方程，消去y整理得：7x²+8mx+4m²-12=0．
∵直線y=x+m與這個橢圓交于不同的兩點
∴△=（8m）²-4×7×（4m²-12）＞0
∴m²＜7，∴-

7

＜m＜

7

；
（3）m=1時，7x²+8mx+4m²-12=0可化為7x²+8x-8=0
∴x=

-4±6 2

7

∴y=

3±6 2

7

∴|AB|=

( 12 2 7 )2+( 12 2 7 )2

=

24

7

點評：本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．