Question

已知橢圓的短軸長為2，且與拋物線有共同的焦點，橢圓C的左頂點為A，右頂點為B，點P是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AP，BP與直線y=3分別交于G，H兩點．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求線段GH的長度的最小值；
（Ⅲ）在線段GH的長度取得最小值時，橢圓C上是否存在一點T，使得△TPA的面積為1，若存在求出點T的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由橢圓和拋物線有共同的焦點，求出拋物線的焦點坐標，根據(jù)a²=b²+c²，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)（I）寫出點A，B，設(shè)點P和直線AP，BP的方程，并且與直線y=3分聯(lián)立，求出G，H兩點，根據(jù)兩點間的距離公式，根據(jù)求函數(shù)的最值方法可求；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)GH的長度取最小值時，可求直線AP的方程及點P，若橢圓C上存在點T，使得△TPA的面積等于1，則點T到直線AP的距離是定值，利用點到直線的距離公式可解．
解答：解：（I）由已知得，拋物線的焦點為，則，又b=1．
由a²-b²=c²，可得a²=4．
故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）直線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2），從而．
由得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
設(shè)P（x₁，y₁），則．所以，從而．
即，又B（2，0），
則直線PB的斜率為．
由得
所以H（-12k+2，3）．
故．
又k＞0，．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
所以當(dāng)時，線段GH的長度取最小值8．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)GH的長度取最小值時，．
則直線AP的方程為x-2y+2=0，此時P（0，1），．
若橢圓C上存在點T，使得△TPA的面積等于1，則點T到直線AP的距離等于，
所以T在平行于AP且與AP距離等于的直線l上．
設(shè)直線．
則由得x²+2tx+2t²-2=0．
△=4t²-8（t²-1）≥0．即t²≤2．
由平行線間的距離公式，得，
解得t=0或t=2（舍去）．
可求得或．
點評：此題是個難題．本題考查了橢圓的定義、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（III）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，