已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=．
（1）若不等式f（x）=g（x）在區(qū)間 （）內的解的個數(shù)；
（2）求證：．
【答案】分析：（I）將方程的解的個數(shù)問題轉化為函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題；通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性及極值；通過對k與函數(shù)h（x）的極值的大小關系的討論得到方程解的情況．
（II）通過（I）得到的函數(shù)的單調性，通過對不等式放縮，利用數(shù)列的裂項求和的方法證出不等式．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=g（x），得．
令所以，方程f（x）=g（x），在區(qū)間內解的個數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線y=k交點的個數(shù)．
當h′（x）=0時，x=．
當x在區(qū)間內變化時，h′（x），h（x）變化如下：

；
當時，y=-e2；當時，；當x=e時，．
所以，（1）當或k＜-e2時，該方程無解
（2）當或時，該方程有一個解；
（3）當時，該方程有兩個解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴．


∴∴

=＜1
∴
∵
∴．
點評：本題考查通過導函數(shù)研究函數(shù)的單調性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)交點的個數(shù)，以及通過放縮的方法證明不等式、考查利用裂項法求數(shù)列的和．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k•a-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（1）求實數(shù)k，a的值；
（2）若函數(shù)g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）給出以下五個命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象經過點P（
π
3
，1），則函數(shù)圖象上過點P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間（0，1）上存在零點．
⑤已知向量
a
=(1，-2)與向量
b
=(1，m)的夾角為銳角，那么實數(shù)m的取值范圍是（-∞，
1
2
）
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，試將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

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