Question

11．已知橢圓$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P（${\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$\frac{1}{2}}$），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，動點 M（2，t）（t＞0）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以 O M（ O為坐標原點）為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作 O M的垂線與以 O M為直徑的圓交于點 N，證明線段 O N的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）把點$P（\;\frac{{\sqrt{6}}}{2}\;，\;\frac{1}{2}\;）$代入橢圓方程可得$\frac{{{{（\;\frac{{\sqrt{6}}}{2}\;）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（\;\frac{1}{2}\;）}^2}}}{b^2}=1$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出；
（2）以O(shè)M為直徑的圓的圓心為$（\;1\;，\;\frac{t}{2}\;）$，半徑$r=\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}$，可得圓的標準方程；由于以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線3x-4y-5=0的距離d，利用弦長公式可得弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-d1nhbjz^{2}}$即可得出．
（3）方法一：過點F作OM的垂線，垂足設(shè)為K．直線OM的方程為$y=\frac{t}{2}x$，直線FN的方程為$y=-\frac{2}{t}（x-1）$，聯(lián)立解得K坐標，可得|OK|，|OM|，利用|ON|²=|OK|•|OM|即可證明．
方法二：設(shè)N（x₀，y₀），則$\overrightarrow{FN}=（\;{x_0}-1\;，\;{y_0}\;）$，$\overrightarrow{OM}=（\;2\;，\;t\;）$，$\overrightarrow{MN}=（\;{x_0}-2\;，\;{y_0}-t\;）$，$\overrightarrow{ON}=（\;{x_0}\;，\;{y_0}\;）$．利用$\overrightarrow{FN}⊥\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{ON}$，可證$|ON|=\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$為定值．

解答 （1）解：由題意得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，①
∵橢圓經(jīng)過點$P（\;\frac{{\sqrt{6}}}{2}\;，\;\frac{1}{2}\;）$，∴$\frac{{{{（\;\frac{{\sqrt{6}}}{2}\;）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（\;\frac{1}{2}\;）}^2}}}{b^2}=1$②
又a²=b²+c²③
由①②③解得a²=2，b²=c²=1．
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）解：以O(shè)M為直徑的圓的圓心為$（\;1\;，\;\frac{t}{2}\;）$，半徑$r=\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}$，
故圓的方程為${（x-1）^2}+{（y-\frac{t}{2}）^2}=\frac{t^2}{4}+1$．
∵以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2，
∴圓心到直線3x-4y-5=0的距離$d=\sqrt{{r^2}-1}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+1-1}=\frac{t}{2}$．
∴$\frac{|3-2t-5|}{5}=\frac{t}{2}$，即2|2t+2|=5t，
故4t+4=5t，或4t+4=-5t，
解得t=4，或$t=-\frac{4}{9}$．
又t＞0，故t=4．
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5．
（3）證明：方法一：過點F作OM的垂線，垂足設(shè)為K．
直線OM的方程為$y=\frac{t}{2}x$，直線FN的方程為$y=-\frac{2}{t}（x-1）$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{t}{2}x\\ y=-\frac{2}{t}（x-1）\end{array}\right.$，解得$x=\frac{4}{{{t^2}+4}}$，故$K（\;\frac{4}{{{t^2}+4}}\;，\;\frac{2t}{{{t^2}+4}}\;）$．
∴$|OK|\;=\sqrt{\frac{16}{{{{（{t^2}+4）}^2}}}+\frac{{4{t^2}}}{{{{（{t^2}+4）}^2}}}}=\sqrt{\frac{4}{{{t^2}+4}}}$；
$|OM|\;=\sqrt{4+{t^2}}$．
又$|ON{|^2}\;=\;|OK|•|OM|\;=\sqrt{\frac{4}{{4+{t^2}}}}•\sqrt{4+{t^2}}=2$．
∴$|ON|\;=\sqrt{2}$．
∴線段ON的長為定值$\sqrt{2}$．
方法二：設(shè)N（x₀，y₀），則$\overrightarrow{FN}=（\;{x_0}-1\;，\;{y_0}\;）$，$\overrightarrow{OM}=（\;2\;，\;t\;）$，$\overrightarrow{MN}=（\;{x_0}-2\;，\;{y_0}-t\;）$，$\overrightarrow{ON}=（\;{x_0}\;，\;{y_0}\;）$．
∵$\overrightarrow{FN}⊥\overrightarrow{OM}$，∴2（x₀-1）+ty₀=0．∴2x₀+ty₀=2．
又∵$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{ON}$，∴x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0．
∴$x_0^2+y_0^2=2{x_0}+t{y_0}=2$．
∴$|\overrightarrow{ON}|\;=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{2}$為定值．

點評 本題考查了圓錐曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及圓的相交問題、向量垂直與數(shù)量積之間的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．