Question

設奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（2）=0，則不等式

f(-x)-f(x)

2x

≤0的解集為

（-∞，-2]∪[2，+∞）

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（2）=0，得到當0＜x＜2時，f（x）＜0；當x≥2時，f（x）≥0．再結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)證出：當x≤-2時，f（x）≤0且-2＜x＜0時，f（x）＞0，最后利用這個結(jié)論，將原不等式變形，討論可得所求解集．

解答：解：∵f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（2）=0，
∴當0＜x＜2時，f（x）＜0；當x≥2時，f（x）≥0
又∵f（x）是奇函數(shù)
∴當x≤-2時，-x≥2，可得f（-x）≥0，從而f（x）=-f（-x）＜0．即x≤-2時f（x）≤0；
同理，可得當-2＜x＜0時，f（x）＞0．
不等式

f(-x)-f(x)

2x

≤0可化為：

-2f(x)

2x

≤0，即

f(x)

x

≥0
∴

f(x)≥0 x＞0

或

f(x)≤0 x＜0

，解之可得x≥2或x≤-2
所以不等式

f(-x)-f(x)

2x

≤0的解集為（-∞，-2]∪[2，+∞）

點評：本題以抽象函數(shù)為例，在已知f（x）的單調(diào)性和奇偶性的基礎之上求解關于x的不等式，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的知識點，屬于基礎題．