設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
解:(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù). 當(dāng)a≠0時(shí),f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a). 此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù) (2)①當(dāng)x≤a時(shí),函數(shù)f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+. 若a≤,則函數(shù)f(x)在(-∞,a]上單調(diào)遞減,從而,函數(shù)f(x)在(-∞,a]上的最小值為f(a)=a2+1. 若a>,則函數(shù)f(x)在(-∞,a上的最小值為f()=+a,且f()≤ f(a). ②當(dāng)x≥a時(shí),函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+. 若a≤-,則函數(shù)f(x)在[a,+∞上的最小值為f(-)=-a,且f(-)≤f(a). 若a>-,則函數(shù)f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增,從而,函數(shù)f(x)在[a,+∞)上的最小值為f(a)=a2+1. 綜上,當(dāng)a≤-時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是-a. 當(dāng)-<a≤時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是a2+1. 當(dāng)a>時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是a+.
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